Was heißt: ,,dieselbe Szene``?

Im Kapitel 6.1 wurde der Begriff ,,dieselbe Szene`` verwendet, um auszudrücken, daß zwei Bilder bis auf die Raumzeitkrümmung die gleiche physikalische Situation darstellen sollen. Hier zeigt sich ein grundlegendes Problem: Genausowenig wie auf einer gekrümmten Kugeloberfläche dasselbe Muster wie auf einer ebenen Fläche dargestellt werden kann, ist es in einem gekrümmten Raum möglich, eine aus dem flachen Raum kommende Geometrie längen- und winkeltreu zu übernehmen.

Bei einer solchen Übertragung haben wir prinzipiell zwei Möglichkeiten:

Erstens können wir versuchen, die Bedeutung eines geometrischen Objektes zu erhalten. Damit ist gemeint, daß z.B. eine Kugel eine Kugel bleibt, oder daß eine mit einem Meterstab gemessene Länge gleich bleibt. Daß dies nicht konsistent durchzuhalten ist, ist klar. Außerdem stellt sich die Frage, welche von mehreren im flachen Raum gleichwertigen, sich aber jetzt widersprechenden Definitionen eines geometrischen Objektes man bevorzugt. Eine Kugel mit Radius $R$ könnte man z.B. so definieren:

Eine Kugeloberfläche $\MK$ besteht aus allen Punkten $\PK = \PP(\l _\PK)$ deren Verbindungsgeodäten $\PP(\l )$ zu einem gegebenen Mittelpunkt $\PM=\PP(\l _\PM)$ die Länge $R$ haben:

$$\int_\PM^\PK \Vd s = \int_{\l _\PM}^{\l _\PK} \sqrt{\Vu^2} \, d\l = R,$$

mit

$$\Vu = \diff{\PP(\l )}{\l }, \qquad \Nabla\!{}_{\iVu} \Vu = 0.$$

Oder:

Eine Kugeloberfläche ist eine geschlossene Fläche konstanter Krümmung mit der Oberfläche $A = 4\pi R^2$.

Oder:

Eine Kugel ist ein Raumgebiet mit dem Volumen $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ und minimaler Oberfläche.

Jede dieser gleichberechtigten Definitionen ergibt im euklidischen Raum die gleiche, im gekrümmten Raum eine verschiedene Fläche.

Die zweite Möglichkeit, eine im flachen Raum gegebene Szene in den gekrümmten zu übertragen, ist, zwei Koordinatensysteme zu wählen, die in beiden Räumen eine ,,möglichst ähnliche`` Metrik haben und dann die im flachen Raum gegebenen Punkte an dieselben Koordinaten im gekrümmten Raum zu setzen.

Ich habe die zweite Methode gewählt, da sie zwar genauso mehrdeutig ist, wie die erste, aber rechnerisch wesentlich einfacher zu handhaben.

In diesem Sinne entsprechen die Bilder Abb. 2 und Abb. 3 nicht derselben Szene. Bei beiden sind jedoch die in Abschnitt 5 erwähnten, zur Beschreibung der Kugelgeometrie verwendeten Abstandsfunktionen $D(\PP)$ gleich definiert:

$$D(\PP) = \sqrt{\sum_{i=1}^3 \left(x^i(\PP)-x^i(\PM)\right)^2} - R_K,$$

wobei $\PM$ der Kugelmittelpunkt und $R_K$ der Kugelradius ist.