Koordinatensysteme

Im mathematischen Teil habe ich für die Darstellung des räumlichen Teils der Schwarzschild-Metrik Kugelkoordinaten $(r,\theta,\phi)$ verwendet.

Für numerische Rechnungen im Raum haben Kugelkoordinaten aber den großen Nachteil, daß sie über den Polen ($\theta=0$) singulär werden: $g_{\phi\phi}$ ist dort $=0$. Die Möglichkeit den Code zu vektorisieren wird durch die dadurch notwendigen Fallunterscheidungen stark eingeschränkt.

Ein zweiter Nachteil ist, daß Drehungen um eine Achse durch den Ursprung in Kugelkoordinaten nur mit sehr viel Trigonometrie beschreibbar sind.

Ich habe daher eine Art kartesischer Koordinaten ($x,y,z$) verwendet. Sie ergeben sich aus den Kugelkoordinaten nach den bekannten Umrechnungsformeln:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn102} x &=& r \, \cos\phi \, \sin\theta, \\ y &=& r \, \sin\phi \, \sin\theta, \\ z &=& r \, \cos\theta. \end{eqnarray}$$

Diese Koordinaten gehen für große $r$ in ,,richtige`` kartesische Koordinaten über. In der Nähe des Ursprungs weichen sie jedoch davon ab. Die Basisvektoren sind nicht mehr orthonormal; die Nichtdiagonalelemente der Metrik werden $\neq 0$. Mit

$$\begin{eqnarray}\html{eqn105} r &=& \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ c_1 &=& \frac{2M}{... ... c_3 &=& \frac{M(4M-3r)}{r^5(r-2M)}, \\ c_4 &=& \frac{2M}{r^3} \end{eqnarray}$$

sind die Metrik

$$g_{\alpha\beta} = \left(\begin{array}{cccc} -(1-2M/r) & 0 ... ...\\ 0 & c_1 zx & c_1 zy & 1 + c_1 z^2 \\ \end{array}\right)$$

und die Christoffel-Symbole:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn110} \Gam^0{}_{i0} = \Gam^0{}_{0i} &=& \frac{1}{2} \, ... ..._{lk} &=& c_3 \, x^i x^k x^l \qquad \mbox{f\uml {u}r $k\neq l$}. \end{eqnarray}$$

Daraus ergeben sich die Differentialgleichungen für die Photonenbahnen:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn114} \ddot{x}^0 &=& -\frac{1}{2}c_1 \,\dot{x}^0 \sum_i... ... x^i \dot{x}^i \right)^2 + c_4 \sum_i (\dot{x}^i)^2 \right] x^i. \end{eqnarray}$$

Aus der Kugelsymmetrie kann man weiter folgern, daß sich in diesen pseudokartesischen Koordinaten Drehungen um eine Achse durch den Ursprung genauso wie bei richtigen kartesischen Koordinaten mit Drehmatrizen beschreiben lassen.

Ein weiterer Vorteil dieser Koordinaten ist, daß Photonenbahnen für große $r$ durch lineare Interpolation der Koordinatenwerte sehr gut angenähert werden können.