Emission und Absorption

Einen Photonenstrom können wir kovariant durch eine Verteilungsfunktion $F$, die Photonenzahl pro Phasenraumvolumen, beschreiben (s. [MTW73] S. 583ff). In einem lokalen Lorentzsystem hängt diese mit der Intensität wie folgt zusammen:

$$F = \frac{I}{h^4 \nu^3}.$$

Im Vakuum bleibt $F$ längs einer Photonenbahn konstant. In einem durchscheinenden Medium gilt folgende Differentialgleichung: $$\diff{F}{\l } = -kF + Q.$$
Die Größen $k$ und $Q$ beschreiben Absorption und Emission im Medium. In einem lokalen Lorentzsystem lautet diese Gleichung:

$$\diff{I}{s} = -\kappa I + \epsilon.$$

$\kappa$ ist der Absorptionskoeffizient, $\epsilon$ die Emissivität (erzeugte Energie pro Zeit, Volumen, Frequenzbereich und Raumwinkel). Diese Emissivität beinhalte auch die Einstreuung aus anderen Richtungen in Strahlrichtung. Der Zusammenhang mit den Größen $k$ und $Q$ ist durch

$$k = E_{\ind{Photon}} \kappa \qquad \mbox{und} \qquad Q = \frac{\epsilon}{h^3 \nu^2}$$

gegeben.

Um die Intensität am Austrittspunkt eines durchscheinenden Objekts zu erhalten, integrieren wir Gleichung (52) mit dem Anfangswert $F(\PP(\l _i))$ längs des Lichtstrahls vom Eintrittspunkt $\PP(\l _i)$ bis zum Austrittspunkt $\PP(\l _o)$.

Interessiert man sich nur für die durch Dopplerverschiebung bzw. gravitative Rotverschiebung verursachte Frequenzänderung, so kann man die Frequenzen des Objektfarbenspektrums einfach mit dem Faktor

$$f = \frac{E_{\ind{Absorption}}}{E_{\ind{Emission}}}$$

multiplizieren. Dabei ist

$$\begin{eqnarray}\html{eqn100} E_{\ind{Absorption}} &=& \mbox{Photonenenergie i... ...Emission}} &=& \mbox{Photonenenergie im Ruhesystem des Objekts}. \end{eqnarray}$$

$E_{\ind{Absorption}}$ wird durch den Energie-Impulsvektor des Photons am Ort der Kamera bestimmt. $E_{\ind{Emission}}$ läßt sich einfach aus dem Photon-Energie-Impuls-Vektor $\Vp = \hbar\Vk$ und der 4-Geschwindigkeit $\Vu$ der Lichtquelle bestimmen (s. Abschnitt 2.14):

$$E_{\ind{Emission}} = \ip{\Vp}{\Vu}.$$

Wir setzen am Ort der Kamera $k^0=1$, damit ist $E_{\ind{Absorption}}=\hbar$ und $f = 1 / \ip{\Vk}{\Vu}$.