Die Photonenbahn

Um die Herkunft des Photons zu ermitteln, müssen wir die Geodätengleichung

$$\ddot{x}^\alpha + \Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma} \, \dot{x}^\beta \dot{x}^\gamma = 0$$

mit den Anfangswerten

$$x_0{}^\alpha = x_k{}^\alpha \qquad \mbox{und} \qquad \dot{x}_0{}^\alpha = k^\alpha$$

zu negativen Bahnparametern hin integrieren, bis die Weltlinie $x^\alpha(\l )$ des Photons die Weltröhre eines Objekts schneidet.

Bei dieser Integration kann es durchaus passieren, daß wir unterwegs das Koordinatensystem wechseln müssen. Betrachten wir z.B. einen Beobachter, der von weitem einem Gravitationskollaps zuschaut. In größerer Entfernung vom Stern kann die Photonenbahn in Schwarzschild-Koordinaten beschrieben werden. Kruskal-Szekeres-Koordinaten sind hier nicht geeignet, da, wie man aus den Transformationsgleichungen (s. Gleichung (30)) ersehen kann, die Zahlenwerte für $u$ bzw. $v$ aufgrund der exponentiellen Abhängigkeit von $r$ und $t$ leicht den Zahlenbereich eines jeden Rechners sprengen würden. In der Nähe von $r=2M$ werden die Schwarzschild-Koordinaten unbrauchbar, da dort die $\Gam^\alpha{}_{\beta\gamma}$ divergieren. Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten dagegen verhalten sich ordentlich. Das bedeutet, daß wir irgendwo dazwischen (im einem Bereich, in dem sich beide Koordinatensysteme gesittet benehmen) von den beim Beobachter verwendeten Schwarzschild-Koordinaten auf die in der Nähe des Sterns notwendigen Kruskal-Szekeres-Koordinaten übergehen müssen.