Christoffel-Symbole

Da die Metrik kugelsymmetrisch ist, können wir uns bei der Rechnung auf eine Ebene durch den Koordinatenursprung, z.B. die Äquatorebene, beschränken. Mit

$$k_1 = (32M^3/r)\,e^{-r/2M}$$

ist die Metrik:

$$g_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} -k_1 & 0 & 0 ... ...2 \\ \end{array} \right), \qquad \alpha, \beta = v, u, \phi.$$

Für die Berechnung der Christoffel-Symbole benötigen wir die Ableitungen $g_{\alpha\beta,\gamma}$: Mit

$$k_1' = \frac{64 M^4 (2M+r) e^{-r/M}}{r^3}, \qquad k_2' = 8M^2 e^{-r/2M}$$

ist

$$\diffp{k_1}{v} = 2k_1'v, \qquad \diffp{k_1}{u} = -2k_1'u$$

und

$$\begin{eqnarray}\html{eqn52} \diffp{g_{vv}}{v} &=& - \diffp{k_1}{v} = -2k_1'v, ... ...2' v, \\ \diffp{g_{\phi\phi}}{u} &=& 2r\diffp{r}{u} = 2 k_2' u. \end{eqnarray}$$

Mit Gleichung (7) können jetzt die Christoffel-Symbole berechnet werden:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn58} \Gam_{vvv} &=& +\frac12 \diffp{g_{vv}}{v} = -k_1'v... ...\Gam_{\phi u\phi} &=& +\frac12 \diffp{g_{\phi\phi}}{u} = +k_2'u. \end{eqnarray}$$

Da die Metrik diagonal ist, gilt:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn68} \Gam^v{}_{\alpha\beta} &=& g^{vv} \Gam_{v\alpha\be... ...} \Gam_{\phi\alpha\beta} = \frac{1}{r^2} \Gam_{\phi\alpha\beta}, \end{eqnarray}$$

und mit: $$c_1 := \frac{k_1'}{k_1} = \frac{2M(2M+r) e^{-r/2M}}{r^2},$$
$$c_1' := \frac{k_2'}{k_1} = \frac{r}{4M},$$
$$c_2 := \frac{k_2'}{r^2} = \frac{8M^2 e^{-r/2M}}{r^2}$$
ergeben sich die von $0$ verschiedenen $\Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$ zu:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn77} \Gam^v{}_{vv} &=& +c_1 v, \\ \Gam^v{}_{vu} = \Ga... ..._2 v, \\ \Gam^\phi{}_{u\phi} = \Gam^\phi{}_{\phi u} &=& +c_2 u. \end{eqnarray}$$