Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Da die bisher verwendeten Schwarzschild-Koordinaten bei $r=2M$ singulär werden, müssen wir zum Studium eines Schwarzen Loches auf ein anderes Koordinatensystem übergehen. Geeignet sind z.B. die Kruskal-Szekeres-Koordinaten $v$, $u$, $\theta$ und $\phi$. Deren Komponenten $u$ und $v$ hängen in dem uns zugänglichen Teil der Welt ($v > -u$) wie folgt mit den Schwarzschild-Koordinaten $r$ und $t$ zusammen:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn41} \left. \begin{array}{lll} u & = & (r/2M-1)^{1/2}\, ... .../4M} \cosh(t/4M) \end{array}\right\} \mbox{f\uml {u}r $r < 2M$}. \end{eqnarray}$$

Für $v<-u$ gelten die gleichen Formeln, nur mit umgekehrten Vorzeichen. Die Transformation ist in Abb. 2 dargestellt.

Abbildung 2: Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Die eingezeichnete Weltlinie ist die eines ab $t=-5$, $r=3$ frei fallenden Körpers.

Die inverse Transformation ist:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn45} (r/2M-1)\,e^{r/2M} = u^2 - v^2, \\ t = \left\{ \b... ... \tanh^{-1}(u/v) & \mbox{f\uml {u}r $r<2M$} \end{array}\right. . \end{eqnarray}$$

Die Gleichung für $r$ ist leider nur implizit gegeben, die Ableitungen $\difp{r}{v}$ und $\difp{r}{u}$ können aber explizit berechnet werden: $$\diffp{r}{v} = -\frac{8M^2 e^{-r/2M}}{r} v, \qquad \diffp{r}{u} = \frac{8M^2 e^{-r/2M}}{r} u.$$

Die Winkelkoordinaten $\theta$ und $\phi$ sind gleich den entsprechenden Schwarzschild-Koordinaten.