Lichtausbreitung

Licht breitet sich gemäß der Geodätengleichung aus (s. Abschnitt 2.14):

$$\ddot{x}^\alpha + \Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma} \, \dot{x}^\beta \dot{x}^\gamma = 0.$$

Nach Einsetzen der oben angegebenen Christoffel-Symbole erhalten wir für die Photonenbahnen folgende Differentialgleichungen:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn37} \ddot{t} &=& -\frac{2M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r^2}... ... \, \dot{\phi} \dot{r} -2 \cot\theta \, \dot{\phi} \dot{\theta}. \end{eqnarray}$$

Abbildung 1: Photonenbahnen in der Schwarzschild-Metrik

In Abb. 1 sind einige Photonenbahnen dargestellt. Die Lichtquelle ist $6M$ von dem in der Bildmitte befindlichen Zentralkörper entfernt. Wir erkennen, daß es zwei Klassen von Bahnen gibt, solche, die sich dem Stern bis zu einem Umkehrpunkt nähern, um dann wieder im Unendlichen zu verschwinden und solche, die im Koordinatenursprung enden. Die Grenzlinie liegt bei $r=3M$. Dort sind für Photonen (instabile) Kreisbahnen möglich.