Metrik

Die Metrik im Außenraum des Zentralkörpers ist ausschließlich durch dessen Gesamtmasse $M$ bestimmt. Das Linienelement dieser Metrik kann beispielsweise so geschrieben werden: $$\Vd s^2 = - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \Vd t^2 + \left(... ...^{-1} \Vd r^2 + r^2(\Vd\theta^2 + \sin^2\theta \, \Vd\phi^2).$$
Hier wurde ein Koordinatensystem und eine Koordinatenbenennung gewählt, die eine Ähnlichkeit zu den in einer flachen Raumzeit bei kugelsymmetrischen Problemen üblicherweise verwendeten Kugelkoordinaten suggerieren. Die $t$-Koordinate entspricht der Eigenzeit eines im Unendlichen sitzenden Beobachters. Die $r$-Koordinate ist durch den Umfang $2\pi r$ eines Kreises bzw. die Oberfläche $4\pi r^2$ einer Kugelschale um den Koordinatenursprung bestimmt. Die Metrik ist unabhängig von $t$.

Störend erscheint zunächst, daß die Koeffizienten $g_{tt}$ und $g_{rr}$ bei $r=2M$ singulär werden. Wie sich im nächsten Kapitel herausstellen wird, ist das aber nur ein Problem dieses Koordinatensystems und kann durch eine andere Koordinatenwahl behoben werden.

Die Wahl des Koordinatensystems und die Benennung der Koordinaten ist reine Konvention! Auch ob eine Koordinate eine Zeit- oder Raumkoordinate ist, entscheidet nicht die Benennung mit dem Buchstaben $t$ oder $r$, sondern allein die Zeit- oder Raumartigkeit des entsprechenden Basisvektors.

Die Wichtigkeit dieses Satzes wird sofort einsichtig, wenn man zu $r$-Werten kleiner $2M$ übergeht. Jetzt ist auf einmal $g_{rr} < 0$ und $g_{tt} > 0$, $\Ve_r$ damit ein zeitartiger und $\Ve_t$ ein raumartiger Vektor. $\Ve_r$ zeigt in die Vergangenheit, der Lauf der Zeit wird also durch eine abnehmende $r$-Koordinate charakterisiert, $\Ve_t$ wird von einem Beobachter als dritte Raumkoordinate empfunden. Da die Metrik von $r$ abhängt, heißt das, daß die Metrik für $r<2M$ zeitabhängig und mit fortschreitender Zeit, d.h. für $r \rightarrow 0$, singulär wird.

Bleiben wir zunächst außerhalb dieser gefährlichen Zone. Für $r>2M$ ist $t$ die Zeitkoordinate, die Metrik ist zeitunabhängig. Sie könnte z.B. mit einem statischen Gerüst von Meterstäben vermessen werden.