Gravitative Rotverschiebung und Dopplereffekt

Die Energie eines Photons mit dem 4-Energie-Impuls-Vektor $\Vp$ steckt in der $p^0$-Komponente. Sie verändert sich, folgt man der Geodätengleichung, gemäß dem Gravitationspotential.

Die Energie des Photons, gemessen im Bezugssystem eines sich mit der 4-Geschwindigkeit $\Vu$ fortbewegenden Beobachters, ist: $$E_{\ind{Photon}} = \ip{\Vp}{\Vu}.$$
Die Frequenz des Lichts ist $\omega=E_{\ind{Photon}}/\hbar$.

Zwei Beobachter mit den 4-Geschwindigkeiten $u_1$, $u_2$, die ein vorbeifliegendes Photon betrachten, messen ein Frequenzverhältnis

$$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\ip{\Vp}{\Vu_1}}{\ip{\Vp}{\Vu_2}}.$$