Riemann-Tensor

Der Riemann-Tensor $\VR$ beschreibt die relative Beschleunigung benachbarter Geodäten und damit auch die durch Gravitation verursachten lokalen Kräfte und Spannungen innerhalb eines ausgedehnten Körpers, die sogenannten Gezeitenkräfte.

Man betrachte eine Schar von Geodäten $\PP(\l ,n)$ ($n$ ist der Scharparameter). Mit

$$\Vu = \difp{\PP}{\l } \qquad \mbox{und} \qquad \Vn = \difp{\PP}{n}$$

gilt für die Beschleunigung eines benachbarten Testteilchens $\Nabla\!_\iVu \Nabla\!_\iVu \Vn$:

$$\Nabla\!_\iVu \Nabla\!_\iVu \Vn + \VR(\dots,\Vu,\Vn,\Vu) = 0,$$

in Komponenten:

$$\DiffDiff{n^\alpha}{\l } + R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} u^\beta n^\gamma u^\delta = 0.$$

Die Komponenten von $\VR$ lassen sich aus den Christoffel-Symbolen berechnen:

$$R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} = \diffp{\Gam^{\alpha}{}_{\... ...ta} - \Gam^{\alpha}{}_{\mu\delta} \Gam^{\mu}{}_{\beta\gamma}.$$