Geodäten

Eine Geodäte ist eine Kurve , die ihren Tangentenvektor längs sich selbst paralleltransportiert: $$\Nabla\!_\iVu \Vu = 0.$$

In Komponenten, bezogen auf ein Koordinatensystem $x^\alpha(\PP)$ in dem $u^\alpha = dx^\alpha /d\l$ ist, gilt:

$$\Diff{(\dif{x^\alpha}{\l })}{\l } = \diff{(\dif{x^\alpha}{... ...}_{\beta\gamma} \diff{x^\beta}{\l } \diff{x^\gamma}{\l } = 0,$$

oder kurz mit $\dot{x}^\alpha = \dif{x^\alpha}{\l }$: $$\fboxsep 1.5ex \fbox{\( \displaystyle \ddot{x}^\alpha + \Ga... ...lpha}{}_{\beta\gamma} \, \dot{x}^\beta \dot{x}^\gamma = 0. \)}$$
Dies sind die für diese Arbeit grundlegenden Gleichungen, da sich das für die Photographie erforderliche Licht längs solcher Geodäten ausbreitet (s. Abschnitt 2.14). Es sind vier gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich außer für den trivialen Fall $\Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma}=0$ im allgemeinen nicht analytisch lösen lassen.