Paralleltransport und kovariante Ableitung

Will man die Ableitung eines Vektor- oder Tensorfeldes $\Vv(\PP)$ bestimmen, so muß man die Differenz zweier Vektoren bilden, die an verschiedenen Punkten der Raumzeit sitzen. Zwei solche Vektoren können aber nicht unmittelbar miteinander verglichen werden, da sie Elemente verschiedener Tangentialräume sind.

Der eine Vektor muß zuerst längs einer Kurve $\PP(\l )$ zum Ort des anderen Vektors paralleltransportiert werden. Die kovariante Ableitung des Vektorfeldes $\Vv(\PP)$ in Richtung des Tangentialvektors $\Vu = \dif{\PP}{\l }$ an die Kurve $\PP(\l )$ ist dann:

$$(\Nabla\!_\iVu \Vv)_{\PP(0)} = \lim_{\eps \rightarrow 0} \... ...0)$ paralleltransportiert}} - \Vv[\PP(0)]} {\eps} \right\}.$$

Paralleltransport heißt einfach, daß ein Physiker in einem lokalen Lorentz-System die Komponenten des Vektors bei einer Verschiebung unverändert läßt.

Wie ein System von Basisvektoren bei einer infinitesimalen Verschiebung verändert wird, kann durch die sogenannten Konnexionskoeffizienten oder Christoffel-Symbole $\Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$ beschrieben werden: $$\Gam^{\alpha}{}_{\beta\gamma} = \ip{\Vomega^\alpha}{\Nabla\!_\gamma \Ve_\beta}.$$
Die Christoffel-Symbole lassen sich lokal aus einer gegebenen Metrik berechnen:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn10} \Gam_{\mu\beta\gamma} &=& \frac12 ( g_{\mu\beta,\g... ...\alpha}{}_{\beta\gamma} &=& g^{\alpha\mu} \Gam_{\mu\beta\gamma}. \end{eqnarray}$$

Die kovariante Ableitung in Komponenten ist dann: $$\Nabla\!_\iVu \VT = (T^\alpha{}_{\beta;\gamma} u^\gamma) \, \Ve_\alpha \otimes \Vomega^\beta,$$
mit $$T^\alpha{}_{\beta;\gamma} = T^\alpha{}_{\beta,\gamma} + \Gam... ...mma} T^\mu{}_\beta - \Gam^\mu{}_{\beta\gamma} T^\alpha{}_\mu.$$
Eine andere Schreibweise für die kovariante Ableitung in Komponenten ist

$$T^\alpha{}_{\beta;\gamma} u^\gamma = \Diff{T^\alpha{}_\beta}{\l }.$$