Metrik

Um in der Raumzeit Abstände und Winkel messen zu können, benötigen wir ein inneres Produkt $\ip{\Vu}{\Vv}$ von zwei Vektoren $\Vu$ und $\Vv$. Dies ist durch den metrischen Tensor $\Vg = g_{\alpha\beta} \, \Vomega^\alpha \otimes \Vomega^\beta$ definiert: $$\ip{\Vu}{\Vv} = g_{\alpha\beta} \, u^\alpha v^\beta.$$
Das Linienelement ist definiert als: $$\Vd s^2 = g_{\alpha\beta} \, \Vd x^\alpha \Vd x^\beta.$$

Zwei Beispiele: Für einen 2-dimensionalen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten $x$ und $y$ ist

$$g_{ik} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \qquad \Vd s^2 = \Vd x^2 + \Vd y^2,$$

in Polarkoordinaten $r$ und $\phi$:

$$g_{ik} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{array}\right) \qquad \Vd s^2 = \Vd r^2 + r^2\Vd\phi^2.$$

In einer 4-dimensionalen flachen Raumzeit hat die Metrik in Minkowski-Koordinaten $t$, $x$, $y$, $z$ folgende Form: $$g_{\alpha\beta} = \left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \... ...ght) \qquad \Vd s^2 = -\Vd t^2 + \Vd x^2 + \Vd y^2 + \Vd z^2.$$
Wir sehen, daß die Metrik nicht mehr definit ist; $g_{tt}$ ist negativ.

Jede Metrik kann durch eine Koordinatentransformation in Diagonalform gebracht werden. Ist $p$ die Anzahl der positiven, $n$ die Anzahl der negativen Diagonalelemente von $\Vg$, so ist $p$ der Index von $\Vg$ und $p-n$ die Signatur von $\Vg$. Die Signatur ist eine Invariante unter orthonormalen Koordinatentransformationen.

Unsere Raumzeit hat die Signatur 2. In einer orthogonalen Basis ist das Längenquadrat eines Basisvektors negativ, das Längenquadrat der anderen drei Basisvektoren positiv oder umgekehrt (Konvention).

Wir empfinden denjenigen Basisvektor der Raumzeit als Zeitrichtung, dessen Längenquadrat ein anderes Vorzeichen hat als das der anderen drei.